从你说的情况来看，你应当在县里的基层学校当教师。基层教师有服务期考上了公务员（应当是面试通过了），学校不放，解决的办法应当是非常有限的，需要付出的努力也是很大的，结局也不是让人很满意的。
一、尽量协调单位放人。
考公务员那是比较难的事，考上了单位又不放人，这是很郁闷的。这时候，虽然有服务期，但如果与单位的关系好，好好地与单位的领导沟通，单位领导可能就会放人。但是单位同意放人了，可能还是不行的。因为你要离开体制的单位，还需你的主管部门，也就是县教育局同意。县教育局同意后，还要县人社部门同意。这两个部门不同意，你也是不能走的。有的地方对人事管得比较严的话，对没到服务期要提前离开的人，可能还要分管的副县长批准。
以上那些人都是决定放不放你走的人，没有他们同意你是走不了的。至少用人单位来考察你，他们就不会提供你的档案，对方就没办法考察。如果你有一定的关系，能够取得他们的同意，你才可能顺利离开学校到公务员队伍去。但是，这种协调难度是很大的，一般的人是办不通的。
二、践行契约精神。
既然去考基层教师时，已明白了有服务期，在服务期内不能调离单位。而且你去考了，并且去上了班了，说明你已认可了这一契约了。你既然与单位有了契约，就应当按照契约的规定，至少应该在服务期结束后才能离开单位，才能去参加公务员考试。
现在要提前离开，单位不放人，单位那是站得住脚的。从报考公务员的规定来看，你应当在取得单位同意后才能报考的。你去考了，单位没同意，这本身就是违反规定的。如果要追究，你也是有责任的。此外，从履行契约的角度来看，你应当履行完契约后，再去参加公务员考试。现在既然考了，就当是去锻炼一下。因此，在没有办法让单位放人的情况下，你就只能履行契约，做完服务期再去参加公务员招录考试了。
三、辞职后参加来年的公务员招录考试。
你现在没有经过单位同意考上了公务员，单位不放人，你是没有办法走人的。即使你现在辞职，用人单位也会以你未经单位同意去参加考试为由，不录用你。因此，这次你被录取的可能性是很小的。
如果你的服务期没到，又确实想考进公务员队伍，你就只能辞职了。辞职以后将自己的档案转到人才服务中心，另外找一份体制外的工作，然后参加第二年的公务员招录考试。这时候，你考上了，体制外的单位是不会阻拦你的，你就能顺利进入公务员队伍了。但是，辞职去考试，是要冒风险的，你有可能考不上，那样的话，你既失去了进入公务员的机会，也失去了在编教师的身份。这种办法，应当要慎重采用。
很高兴解答你的问题，对于在服务期基层教师，考上了公务员学校不放人怎么办？
以下说说我的经历，我老公在大学毕业后通过双选会进入了柳州的一所县高中。服务期是 5 年，但我老公在工作两年后🧒回到自己的家乡发展，已是报名了老家的公务员。跟幸运也考上了，但是在转档案时柳州这边的教育局不给批，没有档案就没有办法顺利入职。我老公因为在服务期提出的辞职，所以教育局有理由不批准。好在经过了几次的交涉，最终交了 8000 块钱罚款，教育局终于松口放人。
所以我觉得这种事要事在人为，其实不是学校不放人，是教育局压着学校不敢放，你要找准教育局的相关人员进行沟通，才能将问题最小化，我相信教育局不是冷血无情的部门，定为酌情考虑你的情况！